Htykuut

Ne doit pas être confondue avec d'autres formules dues à Euler, comme celle concernant les graphes planaires.

Formule d'Euler eiφ=cos⁡(φ)+isin⁡(φ){displaystyle mathrm {e} ^{mathrm {i} varphi }=cos(varphi )+mathrm {i} sin(varphi )}

La formule d'Euler est une égalité mathématique, attribuée au mathématicien suisse Leonhard Euler. Elle s'écrit, pour tout nombre réel x,

eix=cos⁡(x)+isin⁡(x){displaystyle mathrm {e} ^{mathrm {i} ,x}=cos(x)+mathrm {i} ,sin(x)}

et se généralise aux x complexes.

Ici, e est la base naturelle des logarithmes, i est l'unité imaginaire, sin et cos sont des fonctions trigonométriques.

Description |

Cette formule peut être interprétée en disant que la fonction x ↦ e^ix, appelée fonction cis^[1], décrit le cercle unité dans le plan complexe lorsque x varie dans l'ensemble des nombres réels.
x représente la mesure de l'angle orienté que fait la demi-droite d'extrémité l'origine et passant par un point du cercle unité avec la demi-droite des réels positifs. La formule n'est valable que si sin et cos ont des arguments exprimés en radians plutôt qu'en degrés.

La démonstration est fondée sur les développements de la fonction exponentielle z ↦ e^z de la variable complexe z et des fonctions sin et cos considérées à variables réelles.

En fait, la même démonstration montre que la formule d'Euler est encore valable pour tous les nombres complexes x.

La formule établit un puissant lien entre l'analyse et la trigonométrie. Selon Richard Feynman, c'est « l'une des formules les plus remarquables […] de toutes les mathématiques^[2]. » Elle est utilisée pour représenter les nombres complexes sous forme trigonométrique et permet la définition du logarithme pour les arguments complexes. En utilisant les propriétés de l'exponentielle

ea+b=eaeb{displaystyle {rm {e}}^{a+b}={rm {e}}^{a}{rm {e}}^{b}}

et

(ea)k=eak{displaystyle ({rm {e}}^{a})^{k}={rm {e}}^{ak}}

(qui sont aussi valables pour tous les nombres complexes a, b et pour tout entier k), il devient facile de dériver plusieurs identités trigonométriques ou d'en déduire la formule de Moivre. La formule d'Euler permet une interprétation des fonctions cosinus et sinus comme combinaisons linéaires de fonctions exponentielles :

cos⁡(x)=eix+e−ix2{displaystyle cos(x)=displaystyle {frac {mathrm {e} ^{mathrm {i} ,x}+mathrm {e} ^{-mathrm {i} ,x}}{2}}}

sin⁡(x)=eix−e−ix2i{displaystyle sin(x)=displaystyle {frac {mathrm {e} ^{mathrm {i} ,x}-mathrm {e} ^{-mathrm {i} ,x}}{2mathrm {i} ,}}}

Ces formules (aussi appelées formules d'Euler) constituent la définition moderne des fonctions cos{displaystyle cos } et sin{displaystyle sin } (y compris lorsque x est une variable complexe)^[3] et sont équivalentes^[4] à la formule d'Euler (appliquée à x et à –x), qui devient alors une tautologie.

Dans les équations différentielles, la fonction x ↦ e^ix, est souvent utilisée pour simplifier les dérivations, même si le problème est de déterminer les solutions réelles exprimées à l'aide de sinus et cosinus. L'identité d'Euler est une conséquence immédiate de la formule d'Euler.

En électrotechnique et dans d'autres domaines, les signaux qui varient périodiquement en fonction du temps sont souvent décrits par des combinaisons linéaires des fonctions sinus et cosinus (voir analyse de Fourier), et ces dernières sont plus commodément exprimées comme parties réelles de fonctions exponentielles avec des exposants imaginaires, en utilisant la formule d'Euler.

Démonstrations |

Par les séries de Taylor |

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Le développement en série de la fonction exp de la variable réelle t peut s'écrire :

et=t00!+t11!+t22!+t33!+t44!+⋯=∑n=0∞tnn!{displaystyle {mathrm {e} }^{t}={frac {t^{0}}{0,!}}+{frac {t^{1}}{1,!}}+{frac {t^{2}}{2,!}}+{frac {t^{3}}{3,!}}+{frac {t^{4}}{4,!}}+cdots =sum _{n=0}^{infty }{frac {t^{n}}{n,!}}}

et s'étend à tout nombre complexe t : le développement en série de Taylor reste absolument convergent et définit l'exponentielle complexe.

En particulier pour t = ix avec x réel :

eix=∑n=0∞(ix)nn!=∑n=0∞inxnn!⋅{displaystyle {mathrm {e} }^{{mathrm {i} ,}x}=sum _{n=0}^{infty }{frac {{({mathrm {i} ,}x)}^{n}}{n,!}}=sum _{n=0}^{infty }{frac {{mathrm {i} ,}^{n}x^{n}}{n,!}}cdot }

Cette série, séparée en deux, devient, en utilisant le fait que i2k=(i2)k=(−1)k{displaystyle mathrm {i} ,^{2k}=(mathrm {i} ,^{2})^{k}=(-1)^{k}} :

eix=∑k=0∞i2kx2k(2k)!+∑k=0∞i2k+1x2k+1(2k+1)!=∑k=0∞(−1)kx2k(2k)!+i∑k=0∞(−1)kx2k+1(2k+1)!⋅{displaystyle mathrm {e} ^{mathrm {i} ,x}=sum _{k=0}^{infty }{frac {mathrm {i} ,^{2k}x^{2k}}{(2k),!}}+sum _{k=0}^{infty }{frac {mathrm {i} ,^{2k+1}x^{2k+1}}{(2k+1),!}}=sum _{k=0}^{infty }{frac {(-1)^{k}x^{2k}}{(2k),!}}+mathrm {i} ,sum _{k=0}^{infty }{frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{(2k+1),!}}cdot }

On voit ainsi apparaître les développements en série de Taylor des fonctions cosinus et sinus^{[réf. nécessaire]} :

cos⁡(x)=1−x22!+x44!−x66!+⋯=∑k=0∞(−1)kx2k(2k)!{displaystyle cos(x)=1-{frac {x^{2}}{2,!}}+{frac {x^{4}}{4,!}}-{frac {x^{6}}{6,!}}+cdots =sum _{k=0}^{infty }{frac {(-1)^{k}x^{2k}}{(2k),!}}}

sin⁡(x)=x−x33!+x55!−x77!+⋯=∑k=0∞(−1)kx2k+1(2k+1)!{displaystyle sin(x)=x-{frac {x^{3}}{3,!}}+{frac {x^{5}}{5,!}}-{frac {x^{7}}{7,!}}+cdots =sum _{k=0}^{infty }{frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{(2k+1),!}}}

ce qui, en remplaçant dans l'expression précédente de e^ix, donne bien :

eix=cos⁡(x)+isin⁡(x).{displaystyle mathrm {e} ^{mathrm {i} ,x}=cos(x)+mathrm {i} ,sin(x).}

Par le calcul différentiel |

Pour tout nombre complexe k, la seule application f : ℝ → ℂ vérifiant f ' = kf et f(0) = 1 est l'application x ↦ exp(kx) (la démonstration est identique à celle pour k réel, donnée dans l'article détaillé).

L'application f définie par
f(x)=cos⁡x+isin⁡x{displaystyle f(x)=cos x+{rm {i}}sin x}
vérifie
f′=if et f(0)=1.{displaystyle f'={rm {i}}f{text{ et }}f(0)=1.}

Elle coïncide donc avec l'application x ↦ exp(ix).

Historique |

La formule d'Euler fut mise en évidence pour la première fois par Roger Cotes en 1714 sous la forme ln(cosx + i sinx) = ix (où ln désigne le logarithme népérien, c'est-à-dire le logarithme de base e)^[5],[6]. Ce fut Euler qui publia la formule sous sa forme actuelle en 1748, en basant sa démonstration sur la formule de Moivre et à l'aide d'équivalents et de passages à la limite^[7],[8]. Aucun des deux mathématiciens ne donna une interprétation géométrique de la formule : l'interprétation des nombres complexes comme des affixes de points d'un plan ne fut vraiment évoquée que cinquante années plus tard (voir Caspar Wessel).

Applications |

• Un exemple d'application en électromagnétisme est le courant alternatif : puisque la différence de potentiel d'un tel circuit oscille, elle peut être représentée par un nombre complexe :V=V0eiωt=V0(cos⁡ωt+isin⁡ωt).{displaystyle V=V_{0}{rm {e}}^{{rm {i}}omega t}=V_{0}left(cos omega t+{rm {i}}sin omega tright).}Afin d'obtenir une quantité mesurable, on prend la partie réelle^[9] :
  

Re(V)=Re[V0eiωt]=V0cos⁡ωt.{displaystyle mathrm {Re} (V)=mathrm {Re} left[V_{0}{rm {e}}^{{rm {i}}omega t}right]=V_{0}cos omega t.}

• La linéarisation, qui repose sur la formule d'Euler et la formule du binôme de Newton, transforme tout polynôme en cos(x) et sin(x) en une combinaison linéaire de divers cos(nx) et sin(nx), ce qui rend alors immédiat le calcul de ses primitives.

Voir aussi |

Articles connexes |

• Théorème de Descartes-Euler


• 
  Relation d'Euler dans le triangle


• 
  Méthode d'Euler, calcul approché d'équations différentielles et de primitives


• 
  Identité d'Euler, la fameuse identité : e^iπ + 1 = 0

Références |

• Portail de l’analyse