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En mathématiques, le plan complexe (aussi appelé plan d'Argand, plan d'Argand-Cauchy ou plan d'Argand-Gauss^[1]) désigne un plan, muni d'un repère orthonormé, dont chaque point est la représentation graphique d'un nombre complexe unique.

Le complexe associé à un point est appelé l'affixe de ce point. Une affixe est constituée d'une partie réelle et d'une partie imaginaire correspondant respectivement à l'abscisse et l'ordonnée du point.

Définition |

Représentation graphique de z dans le plan complexe, coordonnées cartésiennes et polaire.

On associe en général le plan complexe à un repère (O,u→,v→){displaystyle (O,{vec {u}},{vec {v}})} orthonormé direct. Dans un tel repère, tout point M est l'image d'un unique nombre complexe z qui est appelé affixe de cet unique point (dans ce cas, affixe est féminin : une affixe^{[réf. nécessaire]}) : on note M(z).

Pour tout nombre complexe z tel que z=a+ ib où a et b sont des réels, on a la relation OM→=au→+bv→{displaystyle {overrightarrow {OM}}=a{vec {u}}+b{vec {v}}}. On peut ainsi dire que la partie réelle de z est l'abscisse de M et que la partie imaginaire de z en est son ordonnée.

D'après cette égalité, tous les points de l'axe (O,u→){displaystyle (O,{vec {u}})} sont tels que la partie imaginaire de leur affixe est nulle : leur affixe est donc un nombre réel. En conséquence, on appelle l'axe (O,u→){displaystyle (O,{vec {u}})} axe des réels.

De la même façon, tous les points de l'axe (O,v→){displaystyle (O,{vec {v}})} sont tels que la partie réelle de leur affixe est nulle : leur affixe est donc un nombre imaginaire pur. En conséquence, on appelle l'axe (O,v→){displaystyle (O,{vec {v}})} axe des imaginaires purs.

(a ; b) sont les coordonnées cartésiennes de z=a+ ib dans le plan complexe. On peut aussi écrire z avec des coordonnées polaires (r ; θ), ce qui correspond à l'écriture exponentielle z=r e^{i θ}. Dans ce cas, r est le module du nombre et θ est un de ses arguments (modulo 2π).

Transformations du plan |

La somme de deux vecteurs correspond à la somme de leurs affixes. Ainsi, la translation d'un vecteur donné correspond à l'addition de son affixe.

Une rotation d'un angle θ autour de l'origine correspond à la multiplication de l'affixe par le nombre e^iθ, qui est un nombre complexe de module 1.

Une homothétie de rapport k (réel) et de centre l'origine du plan correspond à la multiplication de l'affixe par k.

Notes et références |

Lien externe |

• Jean-Robert Argand, Essai sur une manière de représenter des quantités imaginaires dans les constructions géométriques, 1806, en ligne et commenté sur le site Bibnum
  

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