Htykuut

L'analyse vectorielle est une branche des mathématiques qui étudie les champs de scalaires et de vecteurs suffisamment réguliers des espaces euclidiens, c'est-à-dire les applications différentiables d'un ouvert d'un espace euclidien E à valeurs respectivement dans R{displaystyle mathbb {R} } et dans E. Du point de vue du mathématicien, l'analyse vectorielle est donc une branche de la géométrie différentielle. Cette dernière inclut l'analyse tensorielle qui apporte des outils plus puissants et une analyse plus concise entre autres des champs de vecteurs.

Mais l'importance de l'analyse vectorielle provient de son utilisation intensive en physique et dans les sciences de l'ingénieur. C'est de ce point de vue que nous la présenterons, et c'est pourquoi nous nous limiterons le plus souvent au cas où E=R3{displaystyle E=mathbb {R} ^{3}} est l'espace usuel à trois dimensions. Dans ce cadre, un champ de vecteurs associe à chaque point de l'espace un vecteur (à trois composantes réelles), tandis qu'un champ de scalaires y associe un réel. Imaginons par exemple l'eau d'un lac. La donnée de sa température en chaque point forme un champ de scalaires, celle de sa vitesse en chaque point, un champ de vecteurs (pour une approche plus théorique, voir géométrie différentielle).

Le calcul vectoriel et l'analyse vectorielle furent développés à la fin du XIX^e siècle par J. Willard Gibbs et Oliver Heaviside à partir de la théorie des quaternions (due à Hamilton) ; la plupart des notations et de la terminologie furent établies par Gibbs et Edwin Bidwell Wilson dans leur livre de 1901, Vector Analysis (Analyse vectorielle).

Principaux opérateurs différentiels linéaires |

Le gradient, la divergence et le rotationnel sont les trois principaux opérateurs différentiels linéaires du premier ordre. Cela signifie qu'ils ne font intervenir que des dérivées partielles (ou différentielles) premières des champs, à la différence, par exemple, du laplacien qui fait intervenir des dérivées partielles du second ordre.

On les rencontre en particulier en :

• 
  Mécanique des fluides (équations de Navier-Stokes).


• 
  Électromagnétisme, où ils permettent d'exprimer les propriétés du champ électromagnétique. La formulation moderne des équations de Maxwell utilise ces opérateurs.


• Ainsi que dans toute la physique mathématique (propagation, diffusion, résistance des matériaux, ...).

Opérateur formel nabla |

L'opérateur nabla ∇{displaystyle nabla } tire son nom d'une lyre antique qui avait la même forme de triangle pointant vers le bas. Il s'agit d'un opérateur formel de R3{displaystyle mathbb {R} ^{3}} défini en coordonnées cartésiennes par

∇=(∂∂x∂∂y∂∂z){displaystyle nabla ={begin{pmatrix}{frac {partial }{partial x}}\[7pt]{frac {partial }{partial y}}\[7pt]{frac {partial }{partial z}}end{pmatrix}}}

On écrit aussi ∇→{displaystyle {vec {nabla }}} pour souligner que formellement, l'opérateur nabla a les caractéristiques d'un vecteur. Il ne contient certes pas de valeurs scalaires, mais on va utiliser ses éléments constitutifs (que l'on peut voir comme des opérations en attente d'argument — des opérateurs différentiels) très exactement comme on aurait utilisé les valeurs scalaires composant un vecteur.

La notation nabla fournit un moyen commode pour exprimer les opérateurs vectoriels en coordonnées cartésiennes ; dans d'autres systèmes de coordonnées, elle est encore utilisable au prix de précautions supplémentaires ; pour plus de précisions, et des interprétations plus théoriques (en particulier la relation avec la dérivée covariante), voir les articles détaillés nabla et connexion de Koszul.

Opérateur différentiel gradient |

Le gradient est un opérateur linéaire qui s'applique à un champ de scalaires et décrit un champ de vecteurs qui représente la variation de la valeur du champ scalaire dans l'espace . Pratiquement, le gradient indique la direction de la plus grande variation du champ scalaire, et l'intensité de cette variation. Par exemple, le gradient de l'altitude est dirigé selon la ligne de plus grande pente et sa norme augmente avec la pente.

En mathématiques, le gradient du champ f, supposé continûment différentiable, au point a, est défini par la relation

df(a)⋅h=(grad→af)⋅h{displaystyle mathrm {d} f(a)cdot h=left({overrightarrow {mathrm {grad} }}_{a}fright)cdot h}

où df(a).h{displaystyle mathrm {d} f(a).h} désigne la valeur sur le vecteur h{displaystyle h} de la différentielle de la fonction f{displaystyle f} au point a{displaystyle a}.

C'est donc tout simplement la définition de l'application linéaire tangente du champ scalaire f(M)=f(x,y,z) en M=a.
De plus, pour une surface d'équation f(x,y,z)=0, le vecteur normal à la surface au point a=(xa,ya,za){displaystyle a=(x_{a},y_{a},z_{a})} est donné par grad→af{displaystyle {overrightarrow {mathrm {grad} }}_{a}f}, ce qui se déduit facilement de ce qui précède.

Il en résulte immédiatement que la dérivée de la fonction en a{displaystyle a} par rapport au vecteur v est donnée par

grad→af⋅v.{displaystyle {overrightarrow {mathrm {grad} }}_{a}fcdot v.}

En dimension 3 et coordonnées cartésiennes, le champ de gradients vérifie (en base orthonormale)

grad→f=∇→f=(∂f∂x∂f∂y∂f∂z).{displaystyle {overrightarrow {mathrm {grad} }}f={vec {nabla }}f={begin{pmatrix}{frac {partial f}{partial x}}\{frac {partial f}{partial y}}\{frac {partial f}{partial z}}end{pmatrix}}.}

Cette relation peut servir, dans le cas particulier où elle s'applique, de définition du gradient. Elle se généralise naturellement en dimension quelconque en ajoutant des composantes au nabla.

Application linéaire tangente d'un champ de vecteurs F→(M){displaystyle {vec {F}}(M)} |

Soit M' le point translaté de M par la translation de vecteur h→{displaystyle {vec {h}}} ; alors :

F(→M′)−F→(M)=(∂F→^)M⋅h→+o(‖h→‖){displaystyle {vec {F(}}M')-{vec {F}}(M)=({widehat {partial {vec {F}}}})_{M}cdot {vec {h}}+o(|{vec {h}}|)}

définit l'opérateur linéaire noté par un chapeau pour signifier que sa représentation dans une base est une matrice carrée [3-3], application linéaire tangente du champ de vecteurs F(M).

Le déterminant de cet opérateur est le Jacobien de la transformation qui à M associe F(M).

Sa trace définira la divergence du champ de vecteurs F(M).

Cela permettra de donner du rotationnel du champ de vecteurs F(M) une définition intrinsèque.

On pourra vérifier que symboliquement :

(∂F→^)M⋅h→=(h→⋅∇→)F→{displaystyle ({widehat {partial {vec {F}}}})_{M}cdot {vec {h}}=({vec {h}}cdot {vec {nabla }}){vec {F}}}

Opérateur divergence |

La divergence s'applique à un champ de tenseurs d'ordre n et le transforme en un champ de tenseurs d'ordre n-1. Pratiquement, la divergence d'un champ de vecteurs exprime sa tendance à fluer localement hors d'un petit volume entourant le point M où est calculée la divergence.

En dimension 3 et en coordonnées cartésiennes, si F→{displaystyle {vec {F}}} est un tenseur d'ordre 1, alors c'est un vecteur et on peut définir la divergence par la relation

divF→=∇→⋅F→=∂Fx∂x+∂Fy∂y+∂Fz∂z{displaystyle mathrm {div} {vec {F}}={vec {nabla }}cdot {vec {F}}={frac {partial F_{x}}{partial x}}+{frac {partial F_{y}}{partial y}}+{frac {partial F_{z}}{partial z}}}

où F→=(Fx,Fy,Fz){displaystyle {vec {F}}=(F_{x},F_{y},F_{z})} désigne le champ de vecteurs auquel est appliqué l'opérateur divergence. La divergence peut être vue, formellement, comme le produit scalaire de l'opérateur nabla par le vecteur « générique » du champ auquel elle est appliquée, ce qui justifie la notation ∇→⋅{displaystyle {vec {nabla }}cdot }. Bien entendu, cette définition se généralise naturellement en dimension quelconque.

La définition indépendante du choix de la base est :

divF→=Tr(∂F→^){displaystyle mathrm {div} {vec {F}}={mbox{Tr}}({widehat {partial {vec {F}}}})}

Une autre définition possible, plus générale mais plus difficile à formaliser, consiste à définir la divergence d'un champ de vecteurs en un point comme le flux local du champ autour de ce point.

Opérateur rotationnel |

Le rotationnel transforme un champ de vecteurs en un autre champ de vecteurs. Plus difficile à se représenter aussi précisément que le gradient et la divergence, il exprime la tendance qu'a un champ à tourner autour d'un point : sa circulation locale sur un petit lacet entourant le point M est non nulle. Par exemple :

• dans une tornade, le vent tourne autour de l'œil du cyclone et le champ de vecteurs vitesse du vent a un rotationnel non nul autour de l'œil. Le rotationnel de ce champ de vitesse (autrement dit le champ de vorticité ou encore champ tourbillon) est d'autant plus intense que l'on est proche de l'œil.


• le rotationnel du champ des vitesses V→(M)=Ω→0∧OM→{displaystyle {vec {V}}(M)={vec {Omega }}_{0}wedge {vec {OM}}} d'un solide qui tourne à vitesse constante Ω→0{displaystyle {vec {Omega }}_{0}} est constant, dirigé selon l'axe de rotation et orienté de telle sorte que la rotation ait lieu, par rapport à lui, dans le sens direct, et vaut simplement 2Ω→0{displaystyle 2{vec {Omega }}_{0}}
  

Dans un espace à 3 dimensions et en coordonnées cartésiennes, on peut définir le rotationnel par la relation

rot→ F→=∇→∧F→=(∂Fz/∂y−∂Fy/∂z∂Fx/∂z−∂Fz/∂x∂Fy/∂x−∂Fx/∂y){displaystyle {overrightarrow {mathrm {rot} }} {vec {F}}={vec {nabla }}wedge {vec {F}}={begin{pmatrix}{partial F_{z}/partial y}-{partial F_{y}/partial z}\{partial F_{x}/partial z}-{partial F_{z}/partial x}\{partial F_{y}/partial x}-{partial F_{x}/partial y}end{pmatrix}}}

où F→=(Fx,Fy,Fz){displaystyle {vec {F}}=(F_{x},F_{y},F_{z})} désigne le champ de vecteurs auquel est appliqué l'opérateur rotationnel. L'analogie formelle avec un produit vectoriel justifie la notation ∇→∧{displaystyle {vec {nabla }}wedge }.

Cela peut aussi s'écrire, par abus de notation (c'est aussi une astuce mnémotechnique), à l'aide d'un déterminant :

rot→ F→=|i→j→k→∂∂x∂∂y∂∂zFxFyFz|{displaystyle {overrightarrow {mathrm {rot} }} {vec {F}}={begin{vmatrix}{vec {i}}&{vec {j}}&{vec {k}}\{frac {partial }{partial x}}&{frac {partial }{partial y}}&{frac {partial }{partial z}}\F_{x}&F_{y}&F_{z}end{vmatrix}}}

où (i→,j→,k→){displaystyle ({vec {i}},{vec {j}},{vec {k}})} désigne la base canonique. Cette dernière expression est un peu plus compliquée que la précédente, mais elle se généralise facilement à d'autres systèmes de coordonnées.

• 
  Une définition intrinsèque (parmi d'autres) du rotationnel est la suivante :

À partir du champ F→{displaystyle {vec {F}}}, on peut construire le champ X0→∧F→{displaystyle {vec {X_{0}}}wedge {vec {F}}} (où X0→{displaystyle {vec {X_{0}}}} est un vecteur uniforme) dont la divergence est une forme linéaire de X0→{displaystyle {vec {X_{0}}}} et donc exprimable par un produit scalaire K→⋅X0→{displaystyle {vec {K}}cdot {vec {X_{0}}}}, où K→{displaystyle {vec {K}}} est l'opposé du rotationnel de F→{displaystyle {vec {F}}} :

div(X0→∧F→)=−rot→F→⋅X0→{displaystyle mathrm {div} ({vec {X_{0}}}wedge {vec {F}})=-{overrightarrow {mathrm {rot} }}{vec {F}}cdot {vec {X_{0}}}}

Une autre définition possible, plus générale mais plus difficile à formaliser, consiste à définir le rotationnel d'un champ de vecteurs en un point comme la circulation locale du champ autour de ce point (voir rotationnel en physique).

Opérateurs d'ordre supérieur |

Opérateur laplacien |

Le plus utilisé des opérateurs d'ordre 2 est le laplacien, du nom du mathématicien Pierre-Simon de Laplace. Le laplacien d'un champ est égal à la somme des dérivées secondes de ce champ par rapport à chacune des variables.

En dimension 3 et en coordonnées cartésiennes, il s'écrit :

Δ=∇2=∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2{displaystyle Delta =nabla ^{2}={frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}+{frac {partial ^{2}}{partial y^{2}}}+{frac {partial ^{2}}{partial z^{2}}}}

Cette définition a un sens aussi bien pour un champ de scalaires que pour un champ de vecteurs. On parle respectivement de laplacien scalaire et de laplacien vectoriel. Le laplacien scalaire d'un champ de scalaires est un champ de scalaires alors que le laplacien vectoriel d'un champ de vecteurs est un champ de vecteurs. Pour distinguer ce dernier, on le note parfois Δ→{displaystyle operatorname {vec {Delta }} } (afin que les novices n'oublient pas qu'il s'agit de l'opérateur grad→ div−rot→ rot→{displaystyle {overrightarrow {mathrm {grad} }} mathrm {div} -{overrightarrow {mathrm {rot} }} {overrightarrow {mathrm {rot} }}}) ; la notation Δ→{displaystyle {vec {Delta }}} est plutôt à déconseiller.

L'autre notation du laplacien qui apparaît ci-dessus, ∇2{displaystyle nabla ^{2}}, invite à le considérer, formellement, comme le carré scalaire de l'opérateur nabla « ∇{displaystyle nabla } ».

Le laplacien apparaît dans l'écriture de plusieurs équations aux dérivées partielles qui jouent un rôle fondamental en physique.

• La plus simple est l'équation de Laplace Δf=0{displaystyle Delta f=0}. Ses solutions (de classe C2{displaystyle {mathcal {C}}^{2}}) sont les fonctions harmoniques, dont l'étude est appelée théorie du potentiel. Ce nom provient du potentiel électrique, dont le comportement (de même que celui d'autres potentiels en physique) est régi, sous certaines conditions, par cette équation.


• Le laplacien sert aussi à écrire :
  
  
  
  • l'équation de Poisson :
    ∇2φ=f{displaystyle {nabla }^{2}varphi =f} ;
    
  
  
  • ou encore l'équation des cordes vibrantes : ∇2φ(x,y,z,t)=1c2⋅∂2φ(x,y,z,t)∂t2{displaystyle {nabla }^{2}varphi (x,y,z,t)={frac {1}{c^{2}}}cdot {frac {partial ^{2}varphi (x,y,z,t)}{partial t^{2}}}}
    
  
  
  
  

Opérateur laplacien vectoriel |

Le laplacien d'un champ de vecteurs A→{displaystyle {vec {A}}} est un vecteur défini par le laplacien scalaire de chacune des composantes du champ vectoriel, ainsi en coordonnées cartésiennes, il est défini par :

Δ→⁡A→=∇→2⁡A→=(∇→.∇→)A→=(∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2).[AxAyAz]=[∂2Ax∂x2+∂2Ax∂y2+∂2Ax∂z2∂2Ay∂x2+∂2Ay∂y2+∂2Ay∂z2∂2Az∂x2+∂2Az∂y2+∂2Az∂z2]=[ΔAxΔAyΔAz]{displaystyle operatorname {vec {Delta }} {vec {A}}=operatorname {{vec {nabla }}^{2}} {vec {A}}=(operatorname {vec {nabla }} .operatorname {vec {nabla }} ){vec {A}}=left({frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}+{frac {partial ^{2}}{partial y^{2}}}+{frac {partial ^{2}}{partial z^{2}}}right).{begin{bmatrix}A_{x}\A_{y}\A_{z}end{bmatrix}}={begin{bmatrix}{frac {partial ^{2}A_{x}}{partial x^{2}}}+{frac {partial ^{2}A_{x}}{partial y^{2}}}+{frac {partial ^{2}A_{x}}{partial z^{2}}}\{frac {partial ^{2}A_{y}}{partial x^{2}}}+{frac {partial ^{2}A_{y}}{partial y^{2}}}+{frac {partial ^{2}A_{y}}{partial z^{2}}}\{frac {partial ^{2}A_{z}}{partial x^{2}}}+{frac {partial ^{2}A_{z}}{partial y^{2}}}+{frac {partial ^{2}A_{z}}{partial z^{2}}}end{bmatrix}}={begin{bmatrix}Delta A_{x}\Delta A_{y}\Delta A_{z}end{bmatrix}}}

Le laplacien vectoriel est présent :

• dans l'équation de Poisson pour les versions vectorielles,


• en mécanique des fluides visqueux où il apparait dans les équations de Navier-Stokes,


• dans l'équation d'onde et en particulier en électromagnétisme dans les équations de propagation d'une onde électromagnétique.

Quelques formules différentielles |

Attention : les formules suivantes sont valables à condition que certaines hypothèses soient vérifiées (la fonction scalaire dans la première formule doit être C2(Ω){displaystyle {mathcal {C}}^{2}(Omega )}, où Ω⊂R{displaystyle Omega subset mathbb {R} }, par exemple. De même, si f→{displaystyle {vec {f}}} désigne la fonction vectorielle concernée dans la seconde formule, il faut vérifier f→∈C2(Ω){displaystyle {vec {f}}in {mathcal {C}}^{2}(Omega )}, Ω⊂Rn{displaystyle Omega subset mathbb {R} ^{n}}.)

• rot→(grad→)=0→{displaystyle {overrightarrow {mathrm {rot} }}({overrightarrow {mathrm {grad} }})={vec {0}}}

• div(rot→)=0{displaystyle mathrm {div} ({overrightarrow {mathrm {rot} }})=0}

• 
  rot→(rot→)=grad→(div)−Δ→{displaystyle {overrightarrow {mathrm {rot} }}({overrightarrow {mathrm {rot} }})={overrightarrow {mathrm {grad} }}(mathrm {div} )-{vec {Delta }}} (appliqué à un vecteur) (rotationnel du rotationnel)

• 
  Δ=div(grad→){displaystyle Delta =mathrm {div} ({overrightarrow {mathrm {grad} }})} (appliqué à un scalaire)

Formules dites de Leibniz pour les produits |

• 
  grad→(X0→⋅B→)=(X0→⋅grad→)B→+X0→∧rot→(B→){displaystyle {overrightarrow {mathrm {grad} }}({vec {X_{0}}}cdot {vec {B}})=({vec {X_{0}}}cdot {overrightarrow {mathrm {grad} }}){vec {B}}+{vec {X_{0}}}wedge {overrightarrow {mathrm {rot} }}({vec {B}})} (où X0→{displaystyle {vec {X_{0}}}} est un vecteur uniforme) et évidemment :

• grad→(A→⋅B→)=(A→⋅grad→)B→+A→∧rot→B→+(B→⋅grad→)A→+B→∧rot→A→{displaystyle {overrightarrow {mathrm {grad} }}({vec {A}}cdot {vec {B}})=({vec {A}}cdot {overrightarrow {mathrm {grad} }}){vec {B}}+{vec {A}}wedge {overrightarrow {mathrm {rot} }}{vec {B}}+({vec {B}}cdot {overrightarrow {mathrm {grad} }}){vec {A}}+{vec {B}}wedge {overrightarrow {mathrm {rot} }}{vec {A}}}

• 
  grad→(F→⋅F→)=2(F→⋅grad→)F→+2F→∧(rot→(F→)){displaystyle {overrightarrow {mathrm {grad} }}({vec {F}}cdot {vec {F}})=2({vec {F}}cdot {overrightarrow {mathrm {grad} }}){vec {F}}+2{vec {F}}wedge ({overrightarrow {mathrm {rot} }}({vec {F}}))} (dite de Bernoulli, en mécanique des fluides)

• 
  div(X0→∧B→)=−X0→⋅rot→(B→){displaystyle mathrm {div} ({vec {X_{0}}}wedge {vec {B}})=-{vec {X_{0}}}cdot {overrightarrow {mathrm {rot} }}({vec {B}})} (où X0→{displaystyle {vec {X_{0}}}} est un vecteur uniforme, définition intrinsèque du rotationnel)

• div(A→∧B→)=−A→⋅rot→B→+B→⋅rot→A→{displaystyle mathrm {div} ({vec {A}}wedge {vec {B}})=-{vec {A}}cdot {overrightarrow {mathrm {rot} }}{vec {B}}+{vec {B}}cdot {overrightarrow {mathrm {rot} }}{vec {A}}}

• 
  rot→(X0→∧B→)=X0→⋅divB→−(X0→⋅grad→)B→{displaystyle {overrightarrow {mathrm {rot} }}({vec {X_{0}}}wedge {vec {B}})={vec {X_{0}}}cdot mathrm {div} {vec {B}}-({vec {X_{0}}}cdot {overrightarrow {mathrm {grad} }}){vec {B}}} (où X0→{displaystyle {vec {X_{0}}}} est un vecteur uniforme, par définition de l'application linéaire tangente)

• rot→(A→∧B→)=A→ divB→−(A→⋅grad→)B→−B→ divA→+(B→⋅grad→)A→{displaystyle {overrightarrow {mathrm {rot} }}({vec {A}}wedge {vec {B}})={vec {A}} mathrm {div} {vec {B}}-({vec {A}}cdot {overrightarrow {mathrm {grad} }}){vec {B}}-{vec {B}} mathrm {div} {vec {A}}+({vec {B}}cdot {overrightarrow {mathrm {grad} }}){vec {A}}}

• 
  grad→(fg)=f⋅grad→(g)+g⋅grad→(f){displaystyle {overrightarrow {mathrm {grad} }}(fg)=fcdot {overrightarrow {mathrm {grad} }}(g)+gcdot {overrightarrow {mathrm {grad} }}(f)} (symétrique en f et g)

• div(ρ⋅V→)=ρ⋅divV→+grad→(ρ)⋅V→{displaystyle mathrm {div} (rho cdot {vec {V}})=rho cdot mathrm {div} {vec {V}}+{overrightarrow {mathrm {grad} }}(rho )cdot {vec {V}}}

• rot→(ρ⋅V→)=ρ⋅rot→V→+grad→(ρ)∧V→{displaystyle {overrightarrow {mathrm {rot} }}(rho cdot {vec {V}})=rho cdot {overrightarrow {mathrm {rot} }}{vec {V}}+{overrightarrow {mathrm {grad} }}(rho )wedge {vec {V}}}

• Δ(f⋅g)=f⋅Δg+2grad→(f)⋅grad→(g)+g⋅Δf{displaystyle Delta (fcdot g)=fcdot Delta g+2{overrightarrow {mathrm {grad} }}(f)cdot {overrightarrow {mathrm {grad} }}(g)+gcdot Delta f}

• div(f⋅grad→(g)−g⋅grad→(f))=fΔg−gΔf{displaystyle mathrm {div} (fcdot {overrightarrow {mathrm {grad} }}(g)-gcdot {overrightarrow {mathrm {grad} }}(f))=fDelta g-gDelta f}

Quelques formules utiles |

• Soient f(M) et g(M) deux champs scalaires, il existe un champ de vecteurs A→(M){displaystyle {vec {A}}(M)} tel que : rot→A→=grad→f∧grad→g{displaystyle {overrightarrow {mathrm {rot} }}{vec {A}}={overrightarrow {mathrm {grad} }}fwedge {overrightarrow {mathrm {grad} }},g}
  


• Le champ central OM→=r→{displaystyle {vec {OM}}={vec {r}}} joue un rôle très important en physique. Aussi convient-il de mémoriser ces quelques évidences :
  
  
  
  • son application linéaire tangente est la matrice identité (cf. la définition !),
  
  
  • donc divr→=3{displaystyle mathrm {div} {vec {r}}=3} et rot→(X0→∧r→)=2X0→{displaystyle {overrightarrow {mathrm {rot} }}({vec {X_{0}}}wedge {vec {r}})=2{vec {X_{0}}}} (où X0→{displaystyle {vec {X_{0}}}} est un vecteur uniforme) et rot→(r→)=0→{displaystyle {overrightarrow {mathrm {rot} }}({vec {r}})={vec {0}}}
    
  
  
  
  


• D'autre part X0→=grad→(X0→⋅r→){displaystyle {vec {X_{0}}}={overrightarrow {mathrm {grad} }}({vec {X_{0}}}cdot {vec {r}})} (où X0→{displaystyle {vec {X_{0}}}} est un vecteur uniforme).


• Et aussi : grad→f(r)=f′(r)u→{displaystyle {overrightarrow {mathrm {grad} }}f(r)=f'(r){vec {u}}} avec u→=r→r{displaystyle {vec {u}}={frac {vec {r}}{r}}}en particulier grad→(r2)=2r→{displaystyle {overrightarrow {mathrm {grad} }}(r^{2})=2{vec {r}}} (évident car d(r→⋅r→)=d(r2){displaystyle d({vec {r}}cdot {vec {r}})=d(r^{2})})


• 
  Δf(r)=f″(r)+2r⋅f′(r){displaystyle Delta f(r)=f''(r)+{frac {2}{r}}cdot f'(r)} , sauf en r=0{displaystyle r=0}
  


• Le champ newtonien, soit r→r3{displaystyle {frac {vec {r}}{r^{3}}}}, est très souvent étudié car c'est le seul champ central à divergence nulle (évident si l'on pense en termes de flux) sauf pour r=0, où elle vaut 4π⋅δ(r){displaystyle 4pi cdot delta (r)} ; ce résultat est le théorème de Gauss pour l'angle solide). Il en résulte que Δ(1/r)=−4π⋅δ(r){displaystyle Delta (1/r)=-4pi cdot delta (r)}. Donc Δ(X0→/r)=−4π⋅X0→⋅δ(r){displaystyle Delta ({vec {X_{0}}}/r)=-4pi cdot {vec {X_{0}}}cdot delta (r)} (où X0→{displaystyle {vec {X_{0}}}} est un vecteur uniforme) qui se décompose en :
  grad→(div)(X0→/r)=−4π⋅X0→⋅δ(r)⋅(1/3){displaystyle {overrightarrow {mathrm {grad} }}(mathrm {div} )({vec {X_{0}}}/r)=-4pi cdot {vec {X_{0}}}cdot delta (r)cdot (1/3)}
  

(où X0→{displaystyle {vec {X_{0}}}}est un vecteur uniforme), et

rot→(rot→)(X0→/r)=+4π⋅X0→⋅δ(r)⋅(2/3){displaystyle {overrightarrow {mathrm {rot} }}({overrightarrow {mathrm {rot} }})({vec {X_{0}}}/r)=+4pi cdot {vec {X_{0}}}cdot delta (r)cdot (2/3)}

(où X0→{displaystyle {vec {X_{0}}}} est un vecteur uniforme) ce qui est moins évident (cf. moment magnétique).

• Les formules précédentes sont dites différentielles. Il convient de les associer aux formules intégrales : théorème de Stokes, théorème de flux-divergence, etc.


• Enfin, il convient de ne pas perdre de vue le caractère axial ou polaire des champs de vecteurs étudiés. Ce ne sont absolument pas les mêmes entités mathématiques !

Expressions des opérateurs en différentes coordonnées |

Coordonnées cylindriques |

grad→f=∂f∂rur→+1r∂f∂θuθ→+∂f∂zuz→{displaystyle {overrightarrow {mathrm {grad} }}f={frac {partial f}{partial r}}{vec {u_{r}}}+{frac {1}{r}}{frac {partial f}{partial theta }}{vec {u_{theta }}}+{frac {partial f}{partial z}}{vec {u_{z}}}}

divA→=1r∂∂r(rAr)+1r∂Aθ∂θ+∂Az∂z{displaystyle mathrm {div} {vec {A}}={frac {1}{r}}{frac {partial }{partial r}}left(rA_{r}right)+{frac {1}{r}}{frac {partial A_{theta }}{partial theta }}+{frac {partial A_{z}}{partial z}}}

rot→(A→)=(1r∂Az∂θ−∂Aθ∂z)ur→+(∂Ar∂z−∂Az∂r)uθ→+1r(∂∂r(rAθ)−∂Ar∂θ)uz→{displaystyle {overrightarrow {mathrm {rot} }}({vec {A}})=left({frac {1}{r}}{frac {partial A_{z}}{partial theta }}-{frac {partial A_{theta }}{partial z}}right){vec {u_{r}}}+left({frac {partial A_{r}}{partial z}}-{frac {partial A_{z}}{partial r}}right){vec {u_{theta }}}+{frac {1}{r}}left({frac {partial }{partial r}}(rA_{theta })-{frac {partial A_{r}}{partial theta }}right){vec {u_{z}}}}

Δf=1r∂∂r(r∂f∂r)+1r2∂2f∂θ2+∂2f∂z2{displaystyle Delta f={frac {1}{r}}{frac {partial }{partial r}}left(r{frac {partial f}{partial r}}right)+{frac {1}{r^{2}}}{frac {partial ^{2}f}{partial theta ^{2}}}+{frac {partial ^{2}f}{partial z^{2}}}}

Coordonnées sphériques |

grad→f=∂f∂rur→+1r∂f∂θuθ→+1rsin⁡θ∂f∂φuφ→{displaystyle {overrightarrow {mathrm {grad} }}f={frac {partial f}{partial r}}{vec {u_{r}}}+{frac {1}{r}}{frac {partial f}{partial theta }}{vec {u_{theta }}}+{frac {1}{rsin theta }}{frac {partial f}{partial varphi }}{vec {u_{varphi }}}}

divA→=1r2∂∂r(r2Ar)+1rsin⁡θ∂∂θ(sin⁡θAθ)+1rsin⁡θ∂Aφ∂φ{displaystyle mathrm {div} {vec {A}}={frac {1}{r^{2}}}{frac {partial }{partial r}}(r^{2}A_{r})+{frac {1}{rsin theta }}{frac {partial }{partial theta }}(sin theta A_{theta })+{frac {1}{rsin theta }}{frac {partial A_{varphi }}{partial varphi }}}

rot→(A→)=1rsin⁡θ(∂∂θ(sin⁡θAφ)−∂Aθ∂φ)ur→+(1rsin⁡θ∂Ar∂φ−1r∂∂r(rAφ))uθ→+1r(∂∂r(rAθ)−∂Ar∂θ)uφ→{displaystyle {overrightarrow {mathrm {rot} }}({vec {A}})={frac {1}{rsin theta }}left({frac {partial }{partial theta }}(sin theta A_{varphi })-{frac {partial A_{theta }}{partial varphi }}right){vec {u_{r}}}+left({frac {1}{rsin theta }}{frac {partial A_{r}}{partial varphi }}-{frac {1}{r}}{frac {partial }{partial r}}(rA_{varphi })right){vec {u_{theta }}}+{frac {1}{r}}left({frac {partial }{partial r}}(rA_{theta })-{frac {partial A_{r}}{partial theta }}right){vec {u_{varphi }}}}

Δf=1r2∂∂r(r2∂f∂r)+1r2sin⁡θ∂∂θ(sin⁡θ∂f∂θ)+1r2sin2⁡θ∂2f∂φ2{displaystyle Delta f={frac {1}{r^{2}}}{frac {partial }{partial r}}left(r^{2}{frac {partial f}{partial r}}right)+{frac {1}{r^{2}sin theta }}{frac {partial }{partial theta }}left(sin theta {frac {partial f}{partial theta }}right)+{frac {1}{r^{2}sin ^{2}theta }}{frac {partial ^{2}f}{partial varphi ^{2}}}}

Annexes |

Bibliographie |

• 
  Max Abraham et Paul Langevin Analyse Vectorielle dans Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées. Tome IV. Cinquième volume, fascicule 1 Jules Molk (éd.) p. 12, (Gauthier-Villars, Paris, 1912-1914)

Articles connexes |

• Théorème de Green


• Théorème de Stokes


• Identités vectorielles


• Théorème de flux-divergence


• Théorème de Helmholtz-Hodge


• Nabla


• Électrostatique


• Magnétostatique

v · m Analyse vectorielle
Objets d'étude	Champ de vecteurs Champ scalaire Équation aux dérivées partielles Équation de Laplace Équation de Poisson
Opérateurs	Nabla Gradient Rotationnel Rotationnel du rotationnel Divergence Laplacien scalaire Bilaplacien Laplacien vectoriel D'alembertien Advection
Théorèmes	Théorème de Green Théorème de Stokes Théorème de Helmholtz-Hodge Théorème de flux-divergence Théorème du gradient Théorème du rotationnel

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